Методична розробка

Методична розробка

Заклад:" Загальноосвітня школа I-III ступенів
                 № 10 Вінницької міської ради»












Зміст.

1.  Візитка вчителя …………………………………………………..        4

I. Вступ …………………………………………………………………       5
II. Основна частина
   а). Теоретична ………………………………………………………        5   
   б). Практична ……………………………………………………….        13
              Конспекти уроків ……………………………………………….        14
         в). Результативність вивчення теми ………………………………        40
III. Заключна частина ……………………………………………….        43
IV. Висновки ………………………………………………………….        43
V. Література ………………………………………………………….       44




























Франчук Галина  Іванівна, вчитель математики,вчитель вищої кваліфікаційної категорії , звання «вчитель-методист» , керівник методичного об'єднання вчителів математики, фізики, інформатики та астрономії.


                                                             

І Вступ.

Тема "Квадратні рівняння" посідає дуже важливе місце у шкільному курсі математики. За допомогою квадратних рівнянь учні розв'язують алгебраїчні та геометричні задачі. При засвоєнні даної теми в учнів виникають ускладнення при розв'язуванні рівнянь,які зводяться до квадратних,при розв'язуванні задач за допомогою  квадратних рівнянь та рівнянь,які зводяться до квадратних. Своєю методичною розробкою я сподіваюсь допомогти  колегам покращити результативність при вивченні  теми :        " Квадратні  рівняння " , активізувати розумову діяльність учнів на уроках математики,залучити учнів до співпраці,дослідницької діяльності.

ІІ. Основна частина.

а). Теоретична.

Квадратне рівняння — це рівняння виду
ax^2 + bx + c = 0, \!     a\ne 0 \!.
Загальним розв'язком  цього рівняння є:
х1,2 =     -b±b2 -4ac2a.

Загальні відомості.

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа a,b,c — його коефіцієнти, причому a також називається першим коефіцієнтом, b — другим, c — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має один чи два корені (Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними). Вони позначаються як x1 та x2 або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то x1,2. В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: x + і x − .

Неповні квадратні рівняння.

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо a = 0, то ax2 + bx + c = 0 перетворюється у лінійне рівняння  bx + c = 0. Якщо хоч один з  коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
  • ax^2 = 0 \!;
  • ax^2 + bx = 0 \!;
  • ax^2 + c = 0 \!.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь.

  • Рівняння виду ax2 = 0 рівносильне рівнянню  x2 = 0 і тому завжди має тільки один корінь   x = 0.
  • Рівняння виду ax2 + bx = 0 розв'язується винесенням за дужки x: x(ax + b) = 0. Таке рівняння має два корені: x1 = 0,x2 = − bа .
  • Квадратне рівняння виду ax2 + c = 0 рівносильне рівнянню x2 = − са. Якщо − са> 0, воно має два дійсних розв'язки, якщо − са < 0 — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то – са додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число −  са від'ємне і ax2 + bx = 0 не має дійсних коренів.

Повне квадратне рівняння.

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Дискримінант.

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискримінанта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою D.
Помноживши обидві частини рівняння ax^2 + bx + c = 0 \! на 4a \!, дістанемо:
4a^2x^2 + 4axb + 4ac = 0 \!,
(2ax)^2 + 4axb + b^2 - b^2 + 4ac = 0 \!
(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \!.
Права частина цієї рівності   і є дискримінантом:
D = b^2 - 4ac \!.

Розв'язування повних квадратних рівнянь.

Якщо D > 0\!, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню (2ax + b)^2 = \left(\sqrt D \right)^2, звідки
2ax + b = \sqrt D,\qquad x=\frac{-b + \sqrt D}{2a},
або
2ax + b = -\sqrt D,\qquad x=\frac{-b - \sqrt D}{2a}.
У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед D. Коротко ці корені записують так:
 .  x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}                (1)     
Якщо D = 0 \!, то 2ax + b = 0 \!, звідки х = – b2а — єдиний корінь.
У випадку, якщо дискримінант менший за нуль,  дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скористатись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:
x_{1,2} = \frac{-b \pm i \cdot \sqrt{-b^2 - 4ac}}{2a}.

Зведені квадратні рівняння.

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці , a = 1. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на  а:
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \!

Теорема Вієта.

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння  х2 + bа х + с а = 0 і  позначимо  bа через  p, \!  а   са через q. \!Тоді воно матиме такий вигляд:

x^2 + px + q = 0, \!
x_1 + x_2 = -p, \!
x_1\cdot x_2 = q.

Доведення.

Якщо рівняння х2 + pх + q = 0 має корені х1 і х2 , то їх можна знаходити за формулами:
x_1 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} , x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}.
При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:
x_1 + x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p,
x_1\cdot x_2 = \frac{(-p)^2 - (\sqrt{p^2 - 4q})^2}{4} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q.

Теорема, обернена до теореми Вієта.

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно  -p \! і q \!, то m і n — корені рівняння x^2 + px + q = 0 \!.

Використання теореми Вієта та оберненої до неї.

Використовуючи теорему Вієта, можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених квадратних  рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:
2x^2 + 16x + 14 = 0. \!
Щоб звести рівняння, поділимо  його ліву і праву частини  на 2, маємо
x^2 + 8x + 7 = 0. \!
Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями мають бути пари чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:
x_1 = -7,\quad x_2 = -1.

Інші методи розв'язування.

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу
х1,2 = – р2 ± (p2)2 -q  
зручно використовувати при парному  p. Її перевага полягає і в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.
Також поширеною є формула
x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} \qquad (2),
але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при c = 0. Тобто у випадку відсутності вільного члена за  допомогою неї не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд  вище зазначеної формули:
x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},
x_2 = \frac{c}{ax_1},
де sgnb — sgn-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія.

200px-Polynomialdeg2
Графік функції  y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння  x2 − x − 2 = 0.
Корені рівняння ax^2 + bx + c = 0 \! є також нулями функції
f(x) = ax^2 + bx + c. \!
В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю  абсцис у двох точках; коли D = 0, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація.

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \!, де x_1, x_2 \! — корені цього рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних.

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду ax2n + bxn + c = 0, зробивши заміну t = xn. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:
3x^6 - 21x^3 + 30 = 0. \!
Зробимо заміну  t = x3;
3t^2 - 21t + 30 = 0. \!
Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):
t_1 = \frac{2 \cdot 30}{21 + \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 + \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{30} = 2,
t_2 = \frac{2 \cdot 30}{21 - \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 - \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{12} = 5.
Маючи значення t ,легко знайти корені початкового рівняння:
x_1 = \sqrt[3]{t_1} = \sqrt[3]{2},
х2 = 3t2  = 35 .              

Історія.

Необхідність розв'язування рівнянь другого  степеня, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми, пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли розв'язувати  вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лише  вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не дивлячись на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає а ні найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язування рівнянь.
В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводив Діофант  Олександрійський у III ст. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.
Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта.
Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.
       Розробки планів - конспектів уроків до розділу алгебри
8 клас " Квадратні рівняння".
Тема уроку:" Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння,їх
                        розв'язування."
Мета уроку : Дати означення квадратного рівняння, неповного квадратного   рівняння. Ввести поняття зведеного та не зведеного квадратних  рівнянь. Навести приклади   розв'язування неповних квадратних рівнянь. Узагальнити знання про розв'язування неповних квадратних рівнянь. Розвивати вміння розрізняти коефіцієнти квадратного рівняння. Виховувати увагу ,акуратність письма.  
Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.
Обладнання уроку :підручник ,посібник ,проектор.
Хід уроку.
І.Організаційний момент.
ІІ. Перевірка домашнього завдання. Розв'язані завдання по черзі проектуються на екран. Діти сигналізують картками  правильність виконання завдання.
( зелений - виконано вірно,червоний - не вірно).
ІІІ. Пояснення нового матеріалу. Розпочинається з історичної довідки про квадратні рівняння,яку підготував вчитель.
а). Означення квадратного рівняння,коефіцієнти квадратного рівняння.
б). Навести приклади зведених та не зведених квадратних рівнянь.
в). Означення неповного квадратного рівняння. Приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь.
г). На екран проектується таблиця в якій систематизовані дані про види неповних квадратних рівнянь та способи їх розв'язання.


ax2 + bx + c =0
b=0; c = 0
b=0
c = 0
ax2 =0
ax2 +c =0
ax2  + bx =0

x2 =0

x=0
ax2  = -c
x2 = - ca

x(ax + b) = 0

x1=0  або  ax + b = 0

ax = – b

x2 = –  ba

  • ca > 0

  • ca < 0
x1 = -ca;

x2 =--ca

рівняння
 не має
розв'язків
Приклад 1. 6х2 =0,х2 =0,х=0
Приклад 2. – 4х2 +36 =0;
                      –4х2 = – 36;
                        х2 = 9;
                        х1 =3,х2= – 3.
Приклад 3.  15х2 +45 =0;
                     15х2 = – 45;
                      х2 = – 3.Рівняння не має розв'язків.
Приклад 4. 0,6х2 + 30х =0;
                    х( 0,6х + 30)=0;
                     х1 =0   або  0,6х + 30 =0; 0,6х=  –30; х2 = –50.
IV Закріплення  вивченого матеріалу. Розв'язування вправ.
1). Розв'язати усно. На екран проектуються завдання.
Які з рівнянь є повні,а які неповні. Назвати коефіцієнти a,b,c кожного з рівнянь: а). 4х2 + 6х – 10 =0,б).12х2 =0, в).1,5х2 + 4,5 = 0,г). 21х – х2 =0,
д). 3х + х2 + 7 =0, е). х2 + 2 – 4х = 0.
2). Розв'язати з підручника  письмово  з подальшою взаємоперевіркою  .
В-1. № 730.Зведіть рівняння до вигляду  ax2 + bx + c =0.
       ( 5х– 1) (5х +1) = х (7х – 13).
       № 734. Розв'яжіть рівняння:
       3х2 – 27 = 0;  – 5,7 х2 = 0.
       № 737. Розв'яжіть  рівняння
       5х2 + х = 0.
В-2. № 730.  ( 2х – 3)2 = ( х + 2) ( х– 7).
       № 734. – 5х2 + 10 = 0;  3,7х2 = 0.
       № 737.  4х2 + 9х = 0.
3). Колективне розв'язування вправ з подальшим  коментарем. Біля дошки працює один учень.
 № 744. Розв'яжіть рівняння
( 5х + 1) ( 2х– 1) = х ( х + 3) – 6(х + 16 ).
V. Підведення підсумків уроку.
а). Означення квадратного рівняння.
б). Коефіцієнти квадратного рівняння.
в). Зведені і не зведені квадратні рівняння.
г). Неповні квадратні рівняння ,їх розв'язання.
VI. Домашнє завдання .
п. 20, вивчити, письмово
№ 743 . Розв'яжіть рівняння: 1). ( х– 2) ( х + 3) = – 6;
             2). 43 х ( х + 9 ) = 18 х( х – 16 ).
№ 747. Добуток двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному. Знайдіть ці числа ,якщо їх різниця дорівнює 1.
Тест-контроль . Тема : " Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння".
        Варіант №1.                                                    Варіант №2.
  1. Вкажіть  коефіцієнти а,b ,с в даному  квадратному рівнянні:
         x2 – 2х + 3=0.                                                 3х2 – х– 5 = 0. ( 2бали)
а). 1; 2; 3  ,             б). 3 ; –1 ;–5,       в). 1 ;–2;3,     г). 1; 2; –3.
    2. Розв'яжіть рівняння:    
        у2 – 16 = 0.                                                       25 – у2 = 0.    ( 2 бали)
а). 4,                       б). 5,                     в). –5 ; 5,       г).  –4 ; 4.
   3. Знайдіть корені рівняння:
        х2 – 5х = 0.                                                       3х + х2 = 0. ( 2 бали)
а). 0,                      б). –3 ; 0,               в). 0; 5,          г). 5.
   4. Розв'яжіть рівняння:                                                           ( 1,5 бали)
       х ( 2х + 3)= ( 2х + 1)(2х – 1).                          ( х– 3)( х +2)= (3х + 2)2.
   5. Знайдіть корені рівняння:
     7х2 + 8х + 1 = 0.                                             7х2 + 6х – 1 = 0.  ( 1,5 бали).
   6. При якому значенні а один із коренів рівняння 3х2 – ах + 6 = 0 дорівнює:
– 3 ?                                                                                  2 ?          ( 3 бали)                                                     
Тема уроку: " Формула коренів квадратного рівняння".
Мета уроку: Дати означення дискримінанта квадратного  рівняння. Вивести формулу коренів квадратного рівняння. Кількість коренів квадратного рівняння в залежності від дискримінанта. Розвивати вміння користуватись формулою коренів квадратного рівняння . Виховувати дисципліну,увагу.
Тип уроку : Урок засвоєння нових знань.
Обладнання уроку: підручник ,посібник,картки,проектор.
                                   План уроку.
  1. Організаційний момент.
  2. Перевірка домашнього завдання.
  3. Повторення теоретичного матеріалу. Опитування.
  4. Усний рахунок.
  5. Пояснення нового матеріалу.
  6. Закріплення вивченого матеріалу. Розв'язування рівнянь.
  7. Математичне змагання : " Хто швидше?".
  8. Підведення підсумків уроку.
  9. Домашнє завдання.
Хід уроку.
І. Організаційний момент.
ІІ. Домашнє завдання перевіряється консультантами перед уроком. Аналізуються основні помилки.
ІІІ. Кілька учнів  виконують запропоновані їм завдання по картках
Зразок картки.
1). Вказати коефіцієнти квадратного рівняння: 0,3 х + 17 – 5,9 х2 = 0.
2). При якому  значенні а  число 3 є коренем рівняння 2ах2 + 4х – 14 = 0.?
3). Розв'яжіть рівняння : ( 2х – 3)2 = ( 3х –2 )2.
Решта учнів   відповідають на теоретичні запитання.
1). Означення квадратного рівняння.
2). Корені квадратного рівняння.
3). Зведені і не зведені квадратні рівняння.
4). Повні і неповні квадратні рівняння,їх розв'язки.
ІV. Усний рахунок . Завдання проектуються на екран.
1). Розв'яжіть усно рівняння: а). 4х2 – 100 = 0, б).  33х2 = 0, в). х2 +х = 0.
2). Складіть  квадратне рівняння з коефіцієнтами: а). с = 17,b = 0,8, a = – 2.
б). а = 48, b = 9,6 ; в). а = – 5, с = 1,4, г). а = – 3,1.
Вкажіть  серед складених рівнянь повні і неповні.
V. Вивчення нового матеріалу.
1). Означення дискримінанта квадратного рівняння.
Позначення : D = b2 – 4 ас.
2)Якщо D > 0, то квадратне рівняння має два корені.
Якщо D = 0 ,то корінь один.
Якщо D < 0 , то квадратне рівняння не має коренів.
На екран проектується таблиця, в якій систематизовані дані про розв'язки  повного квадратного рівняння.
ах2 + b х + с = 0, а≠0 , b ≠0,c ≠0
                                               D = b2 - 4ac
D>0
D =0
D<0
x1 =  -b+D2a ;  x2 = -b-D2a
x = - b2a
рівняння не має розв'язків
VІ. Колективно розв'язуємо  різні типи повних квадратних рівнянь за допомогою формули .
а). 2х2 – 3х. +1 = 0;
    D = (– 3)2 – 4· 2·1 =1; D> 0;
х1 = 3+14 = 1; х2 = 3 –14 = 12 .
Відповідь :  х1 = 1, х2 = 12 .
б). 9х2 – 6х + 1 = 0;
    D = (–6)2 – 4·9 ·1 = 0 ;
    х = – –62·9 = 13 .
Відповідь : х = 13 .
в). 5х2 + 4х + 1 = 0;
    D = 42 – 4·5 ·1=  – 4, D < 0;
Відповідь : рівняння розв'язків не має.
г).– 12 х2 – х+ 7 = 0 ;
Розв'язання . Помножимо ліву і праву частини рівняння на (– 2).
   х2 + 2х– 14 =0;
  D = 4 – 4·1 ·(–14) = 4 + 56 =60; D>0;
  60 =4·15 = 215;
 х1  = –1 + 15 ;
 х2 = – 1– 15.
Відповідь : х1 = – 1+ 15 , х2 = – 1– 15 .
VIІ. Математичне змагання :  " Хто швидше?".
Учні розбиваються на три команди  ( по рядах). Кожна команда отримує завдання на картках . Далі завдання перевіряються і аналізуються помилки.
Зразок завдань на картках.
Завдання №1. Розв'яжіть  рівняння способом виділення квадрата двочлена:
                        4х2 + 4х – 15 = 0;
Завдання №2. Користуючись формулою коренів ,розв'яжіть рівняння:
                     а). 4х2 – 19х  + 12 = 0;
                     б). – 17 х2 – 47 х + 1 = 0.
VIII. Підведення підсумків уроку.
а). Дайте означення дискримінанта квадратного рівняння.
б). Скільки коренів має квадратне рівняння залежно від дискримінанта?
в). Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.
ІХ. Домашнє завдання.§21 вивчити,письмово  № 765 (1),№770(1),№ 764(2).
№ 765 (1) . Розв'яжіть рівняння: ( х– 3)2 = 2х – 3;
№ 764(2). При яких значеннях y значення многочленів  у2 – 3у і  0,5у + 4,5 рівні.
№ 770 (1). Розв'яжіть рівняння: 0,5 х2 + х – 3 = 0.    
Тест- контроль . Тема : " Квадратні рівняння".
Варіант № 1.                                                          Варіант № 2.
  1. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння:
3х2 – х –2 = 0.                                                2х2 + х – 3 = 0.  ( 2 бали)
а). 7,               б). – 23,                в). 25,            г). –25.                   
  1. Скільки коренів має квадратне рівняння:
х2 – 6х + 9 = 0.                                               х2 –4х  + 5 = 0.  ( 2 бали)
а). два,           б). один  ,             в). жодного,  г). інша відповідь.
  1. Знайдіть корені рівняння:
     3х2 – 7х + 4= 0.                                              5х2 – 6х + 1 =0. ( 2 бали)
     а). 0,2 ; 1,      б). –1; –0,2,          в). 1; 131  ,       г).– 131 ; – 1.
     4. Розв'яжіть рівняння:                                                            ( 1,5 бали)
    ( х– 1)2 + (х + 2)2 – ( х–3)( х + 3)=22,          (х–2)2 + (х +1)2 –( х–5)(х +5) = 45.  
5.Знайдіть корені рівняння:                                       
        х2 – 43 + 4х =3.                                              х2 –3 2 –6х=5.   ( 1,5 бали).
   6.  Доведіть ,що при будь-якому значенні a  дане рівняння має два корені:
        2х2 – ах – 5 = 0.                                          3х2 – ах – 7 = 0.  ( 3 бали).
Тема уроку : " Теорема Вієта".
Мета уроку: Сформулювати та довести теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння та будь-якого квадратного рівняння, теорему,обернену до теореми Вієта. Формувати вміння використовувати теореми при розв'язуванні квадратних рівнянь . Розвивати  увагу,логічне мислення. Виховувати акуратність письма,дисципліну.
Тип уроку : Урок засвоєння нових знань.
Обладнання уроку : Підручник,посібник, проектор.
План уроку.
  1. Організаційний момент.
  2. Перевірка домашнього завдання.
  3. Повторення теоретичного матеріалу.
  4. Усний рахунок.
  5. Пояснення нового матеріалу.
  6. Закріплення вивченого матеріалу розв'язуванням рівнянь .
  7. Самостійна робота.
  8. Підсумок уроку.
  9. Домашнє завдання.
Хід уроку.
І. Організаційний момент.
ІІ. Розв'язане домашнє завдання записане на дошці. Учні сигнальними картками  показують правильність виконання  завдань.
ІІІ а). Означення квадратного рівняння,коефіцієнти.
  б). Зведене квадратне рівняння.
VІ. Усний рахунок. На екран спроектовані зведені квадратні рівняння та їх корені .
Рівняння
x1  і  x2
x1 + x2
x1  ∙ x2
x2 – 5x +6 =0
x2 – 3x–  4 =0
x2 + 8x + 15 =0

 2  i     3
-1  i     4
- 5  i   -3
5
 3
-8
 6
- 4
   15
Учні знаходять суму і добуток коренів зведених квадратних рівнянь. Знаходять зв'язок між ними та другим коефіцієнтом і вільним членом.
V. Пояснення нового матеріалу.
1). Сформулювати та довести теорему Вієта.
2). Теорема Вієта для будь-якого квадратного рівняння.
3). Теорема ,обернена до теореми Вієта та її доведення.
VІ. Закріплення вивченого матеріалу . Розв'язування  рівнянь.
1). Усно. Перевірте , чи є дані числа коренями рівняння:
х2 – 12х – 13 =0,  – 1 і 13.
2). Усно. Визначити знаки коренів рівняння: у2 – 15у + 44 = 0.
3). Усно. Рівняння  х2 +рх + q = 0 має корені 0,7 і 10.Знайти його коефіцієнти р і q.
№794. Письмово. Один з коренів  рівняння х2 + 6х– q= 0  дорівнює – 3,5. Знайдіть q і другий корінь.
№ 798. Письмово. Рівняння х2 – 5х – 2= 0 має корені  х1  і х2 . Не розв'язуючи рівняння ,знайдіть :
1). ( х1 – х2 ) 2 ;                         2).  1x1 + 1x2.
VIІ. Виконання самостійної роботи.
Варіант № 1. 1). Один з коренів квадратного рівняння дорівнює 3 . Знайти другий корінь рівняння   х2 – 2х – 3 = 0.
2). Один з коренів даного квадратного рівняння дорівнює 2. Знайдіть
коефіцієнт k та другий корінь рівняння  х2 – 3х + k = 0.
3). Нехай  х1  і х2 – корені рівняння  х2 – 6х – 5= 0. Не розв'язуючи рівняння,знайдіть :  1х1 + 1х2 .
Варіант № 2. 1). Один з коренів квадратного рівняння дорівнює 3. Знайдіть другий корінь рівняння  х2 – х –6 = 0.
2). Один з коренів даного квадратного рівняння дорівнює 2.Знайдіть
коефіцієнт k та другий корінь рівняння  х2 + kх – 8 = 0.
3). Нехай х1 і х2 – корені квадратного рівняння  х2 – 6х – 5= 0. Не розв'язуючи рівняння знайдіть  х12  + х22 .
VIIІ. Підсумок уроку.
Слова вчителя : Франсуа Вієт (1540-1603)  -  відомий французький математик. Його називали батьком алгебри. Рівності ,які виражають зв'язок між коренями і коефіцієнтами зведеного квадратного рівняння називають формулами Вієта,які вчений  вивів у 1591 році.
ІХ. Домашнє завдання: § 22,вивчити; письмово :
№ 796 . Корені х1 і х2 рівняння х2 + рх – 10 = 0 задовольняють умову
2х1 + 5х2 = 0. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт р.
№797. Рівняння  х2 + 4х –3 = 0 має корені х1 і х2 . Не розв'язуючи рівняння, знайдіть :1). х1х2  + х2х1   ;                            2). ( х1 – х2 )2.
Тест-контроль . Тема : " Теорема Вієта".
Варіант № 1.                                                               Варіант № 2.
  1. Знайдіть суму та добуток коренів рівняння:  ( 2 бали)
х2 + 3х – 40 = 0.                                                     х2 – 5х – 40 = 0.
а).3 ;– 40,              б). 5 ; 40,              в). 5 ; – 40,           г). –3 ; – 40.
  1. Укажіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:
3 ; 4,                                                                    – 2; 1. ( 2 бали)
а). х2–7х+12=0,    б). х2+7х+12=0,    в). х2+х–2=0,       г). х2–х–2=0.
    3. Знайдіть методом підбору корені рівняння: ( 2 бали)
х2 – 5х + 6 = 0,                                                       х2 + 8х + 15 = 0.
а). –3;–-5,             б). 3 ; 5,                 в). 2 ; 3,                г). –2 ; –3.
    4. Один з коренів даного квадратного  рівняння дорівнює 3. Знайдіть другий корінь рівняння  :                              ( 1,5 бали)
х2 – 2х – 3 = 0,                                                       х2 – х – 6 =0.
5.Один з коренів даного рівняння дорівнює 2. Знайдіть коефіцієнт k та другий корінь рівняння: ( 1,5 бали)
х2 – 3х + k = 0,                                                      х2 + kх – 8 = 0.
   6. Нехай  х1 і х2 – корені рівняння х2 –6х + 5 = 0. Не розв'язуючи рівняння знайдіть:   (3 бали)
1х1 + х2 ,                                                                   х12 + х22 .
                                                  
Тема уроку: " Розв'язування задач за допомогою  квадратних рівнянь".
Мета уроку: Формувати вміння учнів розв'язувати задачі за допомогою квадратних рівнянь. Розвивати увагу ,логічне мислення при складанні квадратних рівнянь. Виховувати акуратність письма,дисципліну.
Тип уроку: Урок  засвоєння нових знань.
Обладнання: підручник,картки ,проектор.
План уроку.
    1.Організаційний момент.
2.Перевірка домашнього завдання.
3.Повторення теоретичного матеріалу.
4.Математичний диктант.
5.Розв'язування задач за допомогою рівнянь.
6.Підсумок уроку.
7.Домашнє завдання.
Хід уроку.
І. Організаційний момент.
ІІ. Домашнє завдання перевіряють консультанти. Завдання ,яке викликало труднощі при виконанні, розбирається на дошці.
ІІІ. Розгадайте  кросворд ,який спроектований на екран.
По вертикалі :
1.Визначник числа коренів квадратного рівняння.( Дискримінант)
2.Квадратне рівняння, в якому b=0 або c=0. (Неповне)
По горизонталі :
3.Квадратне рівняння, в якому перший коефіцієнт дорівнює 1.  ( Зведене)
4. Число дійсних коренів при D<0. (Немає)
5.Число дійсних коренів при D>0. ( Два))
6. Прізвище вченого, який довів теорему про властивість коренів квадратного рівняння (Вієт)

http://reval09.ucoz.ru/188.png
ІV. Математичний диктант.
Варіант №  1.                                                             Варіант №2.     
  1. Знайдіть  корені рівняння:    
12х2 – 3 = 0.                                                                 15х2 + 15 = 0.   
  1. Розв'яжіть рівняння:
х2 = 4х.                                                                         х = 5х2.
  1. Знайдіть  корені рівняння:
5х2 = х + 4.                                                                   8 – х = 7х2.
  1. Знайдіть  методом підбору корені рівняння:
х2 – 3х – 10 = 0.                                                           х2  – 11х – 80 = 0.
V. Розв'язування задач за  допомогою квадратних рівнянь.
№ 809. Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см більший за другий.   
Знайдіть периметр трикутника,якщо його гіпотенуза дорівнює 13 см.
№ 807. Ділянку прямокутної форми ,одна із сторін якої на 10м більша за другу, треба обнести парканом . Знайдіть довжину паркана,якщо площа ділянки 375м2.
Задача. Тіло підкинуте вертикально вгору   зі швидкістю 20 м/с.
Висота h( у м)  ,на якій через t с буде тіло ,обчислюється за формулою
h =20t – 5t2 .В який момент часу тіло буде на висоті 15м?
VI. Підсумок уроку.  
VII. Домашнє завдання.
Повторити §20-23,письмово: № 806, № 815.
№ 806.  Знайдіть периметр прямокутника,якщо його площа дорівнює108 см2, а одна  із сторін на 3 см більша за другу.
№ 815. Знайдіть три послідовних цілих числа,якщо квадрат більшого з них
на   970  менший за подвоєну суму квадратів двох інших.
Тема уроку: Квадратний тричлен,його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.
Мета уроку:Дати означення квадратного тричлена ,коренів квадратного тричлена. Сформулювати та довести теорему про розкладання квадратного тричлена на множники. Виділення квадрата двочлена з квадратного тричлена.
Розвивати вміння розкладати квадратний тричлен на лінійні множники. Виховувати увагу , дисципліну,акуратність письма.
Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.
Обладнання: підручник,картки,проектор.
                                            План уроку.
  1. Організаційний момент.
  2. Перевірка домашнього  завдання.
  3. Повторення. Математичне змагання.
  4. Пояснення нового матеріалу.
  5. Закріплення вивченого матеріалу.
  6. Самостійна робота.
  7. Підведення підсумків уроку.
  8. Домашнє завдання.
                                 Хід уроку.
І. Організаційний момент.
ІІ. Розв'язане домашнє завдання спроектоване на екран . Учні сигнальними картками демонструють правильність його виконання .
ІІІ. Математичне змагання. Клас розділяється на дві команди. Кожній команді пропонуються теоретичні завдання. До дошки   від кожної команди виходить один учень,який відповідає на одне запитання. Помилки аналізуються.
І команда. 1). Загальний вигляд квадратного рівняння .
2). Приклади  зведеного та не зведеного  квадратних  рівнянь.
3). Дискримінант квадратного рівняння .
4). Формули  Вієта для зведеного квадратного рівняння.
ІІ команда. 1). Коефіцієнти квадратного рівняння.
2). Види неповних квадратних рівнянь.
3). Формула  коренів квадратного рівняння.
4). Формули Вієта для не зведеного квадратного рівняння.
IV. Пояснення нового матеріалу.
1). Означення квадратного тричлена.
2). Означення коренів квадратного тричлена.
3). Дискримінант квадратного тричлена .
4). Сформулювати і довести теорему про розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.
5). Виділення квадрата двочлена з квадратного тричлена.
V. Закріплення вивченого матеріалу розв'язуванням вправ.
Приклад 1. Розкладіть  на множники  тричлен   – 2х2 + 3х + 5.
Приклад 2. Скоротіть  дріб :  4х2 –2х–2х2 –1   .
Приклад 3. Виділіть з тричлена  2х2 + 8х – 7 квадрат двочлена.
№ 853(1). Обчисліть значення дробу   2x2 + 9x -5x2 + 8x +15 , якщо х = 97.  
VI.  Самостійна робота. Завдання у двох  варіантах  спроектовані на екран.
Варіант № 1.                                                          Варіант № 2.
1). Скоротіть  дріб:
           x2+ 2x-1545-x-2x2 ;                                                   a2 -a -11022 +9a - a2 .
VII. Підведення підсумків уроку.
VIII. Домашнє завдання . §24,вивчити,письмово № 851 (6),№ 857(2).
№ 851(6) Скоротіть дріб х2 –37х+1422х –2х2 –56 ,№ 857 (2) Виділіть з квадратного тричлена квадрат двочлена  та доведіть ,що при будь-якому значенні х  тричлен набуває від'ємного значення: – х2 + 12х – 37.
Тест -контроль. Тема : " Квадратний тричлен,його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники".
Варіант № 1.                                                          Варіант №2.
1.Знайдіть кількість коренів квадратного тричлена : ( 2 бали)
3х2 + 8х + 4,                                                           6х2 – 3х + 5.
а) один,              б) жодного,               в) два,              г) інша відповідь.                  
2.Знайдіть корені квадратного тричлена:  ( 2 бали)
х2 – 8х –9,                                                               х2 + 3х – 4.
а).  9; –1 ,           б). 4 ; –1 ,                  в). – 4;1,           г). –9 ; 1.
3. Розкладіть на множники квадратний тричлен:  ( 2 бали)
2х2 – 5х + 2,                                                           2х2 + 3х – 5.
а).(х–2)(х–0,5),   б).(2х–2)(2х+5),      в).(х–1)(2х+5) ,      г). (х–2)(2х–1).
4. Виділіть квадрат двочлена  з квадратного тричлена: ( 3 бали)
– 4х2 + 6х +3,                                                              – 2х2 –4х + 1.
5.Скоротіть дріб:  ( 3 бали)
2( х+4)2х2+ 6х –8  ,                                                                х+3–х2 –х+6  .
Тема уроку: " Розв'язування рівнянь,які зводяться до квадратних".
Мета уроку : Ознайомити учнів з різними видами рівнянь ,які зводяться до квадратних. Розвивати вміння зводити рівняння до квадратних  Виховувати увагу, взаємопідтримку.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань.
Обладнання уроку: підручник ,проектор.
                                        План уроку.
  1. Організаційний момент.
  2. Перевірка домашнього завдання.
  3. Повторення теоретичного матеріалу.
  4. Пояснення нового матеріалу.
  5. Підведення підсумків уроку.
  6. Домашнє завдання.
                               Хід уроку.
І. Організаційний момент.
ІІ. Перевірка домашнього завдання .
Домашнє завдання розв'язане на дошці з помилками. Учні колективно перевіряють  кожне завдання окремо, виправляють помилки. Вчитель коментує їх відповіді.
ІІІ. Повторення теоретичного матеріалу.
1). Зведення дробово - раціональних виразів до спільного знаменника.
2). Розкладання квадратного тричлена на множники.
IV. Пояснення нового матеріалу шляхом розв'язування різнотипних рівнянь за допомогою квадратних.
1). Дробові раціональні рівняння.
Приклад 1. Розв'яжіть  рівняння  1х+2 + 1x2-2x =8x3 -4x .
2). Метод розкладання многочлена на множники.
Приклад 2. Розв'яжіть  рівняння х3 + х2 – 12х = 0. Ліва частина рівняння розкладається на множники .
3). Біквадратні рівняння.  Рівняння виду  ах4 + bх2 + с = 0, де  а ≠ 0 називається біквадратним рівнянням. Це рівняння можна розв'язати введенням нової змінної. Позначити х2 через t. Такий метод називається метод заміни змінної.
Приклад 3. Розв'яжіть  рівняння    х4 – 9х2 + 8 = 0.
4). Метод заміни змінної.
Приклад 4. Розв'яжіть  рівняння  ( х2+ 4х)(х2 + 4х + 4) = 12.Робиться заміна
х2 + 4х = t.
Приклад 5. Розв'яжіть  рівняння  х( х – 2) = 4( х+1)( х–3) .
Розкриємо дужки, маємо  х2 –2х = 4х2 -2х-3 . Робиться заміна  х2 – 2х =  t.
№ 874(4). Розв'яжіть  рівняння  2х –3х+2= хх+6 .
№ 877(2). Розв'яжіть  рівняння  х3 + 4х = 0.
V. Підведення підсумків уроку.
Різні методи розв'язування рівнянь,які зводяться до квадратних.
1). Дробові раціональні рівняння.
2). Метод розкладання многочлена на множники.
3). Біквадратні рівняння.
4). Метод заміни змінної.
VI.  Домашнє  завдання. Повторити § 20-25.
Письмово № 868(6), № 876 (4), №882 (3).
№ 868(6). Розв'яжіть біквадратне рівняння  9х4 – 6х2 + 1 = 0,
№ 876(4). Розв'яжіть  рівняння  х3 + х2 – 6х = 0,
№ 882(3). Розв'яжіть  рівняння  4х –5 – 2х+5 = х2+ 15х2 –25 .
Тест- контроль . Тема : " Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних".
Варіант № 1.                                                          Варіант № 2.
  1. Знайдіть корені рівняння:  ( 1 бал)
9х = х,                                                                       х =16х .
а). 3,                 б). –4 ; 4,            в). – 3; 3,                 г). 4.
    2. Розв'яжіть рівняння:   ( 1бал)
х2+ х –6 х –2 = 0,                                                                   х2+ х –2 х+2 = 0.
а). –3,               б). –2 ; 1,             в). –3 ; 2,             г). 1.
3. Розв'яжіть рівняння: ( 1 бал)
х22 –х = 3х2 –х ,                                                                     х23 –х = 2х3 –х .
а). 0 ; 2,             б). 0; 2; 3,             в). –3 ; 2,                 г). 3.
4. Розв'яжіть  біквадратне рівняння:   ( 3 бали )
4х4 –5х2 + 1 =0,                                                      9х4 –9х2 + 2 =0.              
5.Розв'жіть рівняння: ( 3 бали)
( х2 + х – 3)2 –12(х2 + х –3)+ 27 =0,          ( х2 –х + 4)2 –10(х2–х – 4) + 16 = 0,
6.Знайдіть корені рівняння: ( 3 бали)
4х –2 – 2х = 3 –хх2 –2х ,                                                  5х+3 –3х =2 –хх2+ 3х .
Тема уроку : " Розв'язування задач за допомогою  рівнянь,які зводяться до квадратних".
Мета уроку : узагальнити та систематизувати  знання про квадратні рівняння та рівняння,які зводяться до квадратних. Показати на прикладах , як розв'язуються  задачі за допомогою рівнянь ,що зводяться до квадратних ; розвивати творчі здібності учнів шляхом розв'язування задач різними способами. Виховувати в учнів почуття дружби та поваги один до одного.
Тип уроку : урок узагальнення та систематизації знань.
Обладнання : проектор, таблиця " Квадрати натуральних чисел".
План уроку.
1.Перевірка домашнього завдання.
2.Розв'язування задач.
3. Математичне змагання з розв'язування задач за допомогою рівнянь.
4. Підведення підсумків уроку.
5. Домашнє завдання.
Хід уроку.
  1. Домашнє завдання перевіряється консультантами . Завдання ,які викликали ускладнення  розв'язуються на дошці або проектуються  на екран.
  2. Розв'язування задач за допомогою рівнянь,які зводяться до квадратних.
а). Розв'яжіть задачу. З  міста А  до міста  В вирушив пішохід. Відстань АВ дорівнює 10км. Через 30хв після нього з міста А до міста В вирушив велосипедист, швидкість якого на 6 км більша від швидкості пішохода. Велосипедист , обігнавши пішохода  і дійшовши до міста В,
повернувся знову до міста А в той самий час, коли пішохід прийшов до міста В.Знайдіть швидкість пішохода.
                                           Розв'язання.
Нехай пішохід рухався зі швидкістю  х км /год, тоді відстань в 10 км він пройшов за  10х год. Велосипедист їхав зі швидкістю ( х +6 ) км/год і проїхав відстань 20 км від А до В і назад за 20х+6   год. За умовою задачі ,пішохід вийшов на 30 хв раніше,тобто витратив на проходження шляху на 12 год більше ,ніж велосипедист. Складемо рівняння і розв'яжемо його.
10х – 20х+6 = 12 ;
     10х – 20х+6 – 12 = 0;
     10 ·2( х+6)–20 ·2х –х ( х+6)2х ( х+6 ) = 0 ;
     –х2 –26х+1202х ( х+6) = 0 ;
      {x2+26x-120=0, -2x(x+6)≠0;       {x=4 , x=-30 x≠0,x≠-6.          '
х = – 30 не задовольняє умову задачі,отже швидкість пішохода  4 км/год.
Відповідь : 4 км/год.
  1. Математичне змагання. Учні класу розбиваються на дві команди. Кожна команда вибирає собі капітана . Командам пропонується розв'язати по одній задачі  зі складанням рівняння за допомогою таблиці. Капітани команд отримують окремі завдання. В кінці змагання оцінюються розв'язки окремо команди і окремо капітана. Нараховуються бали за правильні відповіді . Підводяться підсумки змагання.
Задача для першої команди. Теплохід пройшов униз річкою  150 км і повернувся назад , витративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть швидкість течії річки , якщо швидкість теплохода в стоячій воді  55 км /год.
Задача для другої команди . Турист проплив моторним човном вгору річкою  25 км, а назад спустився плотом. Знайдіть швидкість течії
річки ,якщо швидкість човна в стоячій воді 12 км/год.
Завдання для капітанів. Перша команда. У кінотеатрі було  320місць. Після того ,як число місць у кожному ряді збільшили на 4 і додали ще один ряд , у залі стало 420 місць. Скільки стало рядів у кінотеатрі?
Друга команда. Знаменник дробу на 3  більший від чисельника. Якщо до цього дробу додати обернений до нього дріб , утвориться  14970 . Знайдіть дріб.
  1. Підведення підсумків змагання і підсумків уроку.
Поки підводяться підсумки змагання  і  уроку ,учням пропонується розгадати кросворд. У виділеному стовпці учні отримають назву держави, де вперше одержали правило знаходження коренів квадратного рівняння. Кросворд  проектується на екран.

1


2













3







4





5








6






7
Завдання для кросворда.
  1. Найвищий показник степеня змінної в квадратному рівнянні.( Два).
  2. Вираз,за допомогою якого визначають наявність і кількість коренів квадратного рівняння. ( Дискримінант).
  3. Квадратне рівняння, коефіцієнт при х2 у якому а = 1.( Зведене).
  4. Кількість коренів рівняння 3х – 1 = 0. ( Один).
  5. За допомогою неї знаходять корені квадратного рівняння.( Формула).
  6. Квадратне рівняння,у якому другий коефіцієнт або вільний член дорівнюють нулю. ( Неповне).
  7. Розв'язок рівняння .( Корінь).
Слова вчителя. Вчені стародавнього Вавилону зробили великий крок у розв'язуванні квадратних рівнянь. Саме вони знайшли правило для розв'я-зування будь-якого квадратного рівняння. Спосіб розв'язування квадратного рівняння вавилоняни пропонували у вигляді правила, де вказувалося, які дії  і у якій послідовності потрібно виконати. Це правило є формула, якою користу-ємось ми і нині.
5.Домашнє завдання.  § 23,  прочитати, письмово № 818,№ 825.
№ 818. Периметр прямокутника дорівнює 44 см, а сума площ квадратів , побудованих на суміжних сторонах, дорівнює 244 см2. Знайдіть сторони прямокутника.
№ 825. Сигнальна ракета ,що випущена вертикально вгору,через 2 с була на висоті 40 м. Через який час ракета буде на висоті 44,2 м?
в). Результативність  вивчення теми "Неповні квадратні рівняння ".


Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Сообщения (Atom)